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\title{\textbf{Entwicklung und Berechnung eines aktiven DCF77-Empfangsschwingkreises}}
\author{DM8ANE}
\date{30. Juni 2026}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents
\newpage

\section{Theoretische Grundlagen und Dimensionierung}

Für den Empfang des Zeitzeichensenders DCF77 auf der Frequenz $f_0 = 77,5\,\text{kHz}$ wird un hochselektiver Parallelschwingkreis dimensioniert. Als Induktivität dient eine einlagige, zylindrische Luftspule aus Kupferlackdraht (CuL).

\subsection{Berechnung der Luftspule (Wheeler-Formel)}
Die Induktivität einer einlagigen Luftspule lässt sich im metrischen System über folgende Näherungsformel berechnen:
\begin{equation}
L \approx \frac{N^2 \cdot D^2}{45D + 100l}
\end{equation}
Dabei ist:
\begin{itemize}
    \item $L$: Induktivität in Mikrohenry ($\mu\text{H}$)
    \item $N$: Windungszahl
    \item $D$: Effektiver Spulendurchmesser in mm (Mitte-Mitte Draht)
    \item $l$: Spulenlänge in mm
\end{itemize}

Gegeben ist ein nominaler Drahtdurchmesser von $d_{\text{Cu}} = 0,63\,\text{mm}$. Einschließlich der Lackisolierung ergibt sich ein Außendurchmesser von $d_{\text{außen}} \approx 0,68\,\text{mm}$. Als Wickelkörper wird ein Standard-PVC-Rohr mit einem Außendurchmesser von $D_{\text{core}} = 32\,\text{mm}$ gewählt.

Daraus resultiert der effektive Durchmesser $D$:
\begin{equation}
D = D_{\text{core}} + d_{\text{außen}} = 32\,\text{mm} + 0,68\,\text{mm} = 32,68\,\text{mm}
\end{equation}

Da die Windungen dicht an dicht gewickelt werden, ist die Spulenlänge $l$ direkt von der Windungszahl abhängig:
\begin{equation}
l = N \cdot d_{\text{außen}}
\end{equation}

Setzt man die Zielinduktivität $L = 100\,\mu\text{H}$ und die obigen Parameter ein, erhält man durch iterative Lösung:
\begin{align*}
N &= 64\,\text{Windungen} \\
l &= 64 \cdot 0,68\,\text{mm} = 43,52\,\text{mm}
\end{align*}

Das Verhältnis von Länge zu Durchmesser beträgt $l/D \approx 1,33$, was laut Medhurst eine hervorragende Spulengüte garantiert.

\subsection{Berechnung der Resonanzkapazität}
Nach der Thomsons Schwingungsformel bestimmt sich die erforderliche Kapazität $C$ für die Resonanzfrequenz $f_0$:
\begin{equation}
f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot C}} \implies C = \frac{1}{4\pi^2 \cdot f_0^2 \cdot L}
\end{equation}

Setzt man die Werte ein:
\begin{equation}
C = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (77500\,\text{Hz})^2 \cdot 100 \cdot 10^{-6}\,\text{H}} \approx 42,16\,\text{nF}
\end{equation}
In der Praxis wird dieser Wert durch Parallelschaltung von Standardwerten (z. B. $39\,\text{nF} + 3,3\,\text{nF}$ Folienkondensatoren) realisiert.

\subsection{Güte und Bandbreite}
Bei $77,5\,\text{kHz}$ wird für diese Geometrie ein effektiver Wechselstromwiderstand $R_{\text{AC}} \approx 0,40\,\Omega$ ermittelt (unter Einbeziehung des Skin- und Proximity-Effekts). Die unbelastete Spulengüte $Q$ beträgt:
\begin{equation}
Q = \frac{\omega_0 \cdot L}{R_{\text{AC}}} = \frac{2\pi \cdot 77500\,\text{Hz} \cdot 100 \cdot 10^{-6}\,\text{H}}{0,40\,\Omega} \approx 121,7
\end{equation}

Die resultierende 3-dB-Bandbreite $B$ im Leerlauf beträgt:
\begin{equation}
B = \frac{f_0}{Q} = \frac{77500\,\text{Hz}}{121,7} \approx 637\,\text{Hz}
\end{equation}

\subsection{Berechnung der Empfangsspannung in München}
Bei einer Entfernung von ca. 300~km zum Sender Mainflingen beträgt die elektrische Feldstärke der Bodenwelle in München im Freifeld ca. $E \approx 2,5\,\text{mV/m}$. Über den Feldwellenwiderstand $Z_0 \approx 377\,\Omega$ ergibt sich die magnetische Feldstärke $H$:
\begin{equation}
H = \frac{E}{Z_0} \approx 6,63\,\mu\text{A/m}
\end{equation}

Die in die Spule induzierte Urspannung $U_0$ berechnet sich nach:
\begin{equation}
U_0 = 2\pi \cdot f_0 \cdot \mu_0 \cdot H \cdot N \cdot A
\end{equation}
wobei $A = \pi \cdot (D/2)^2 \approx 8,39 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2$ die wirksame Querschnittsfläche ist.
\begin{equation}
U_0 = 2\pi \cdot 77500 \cdot (4\pi \cdot 10^{-7}) \cdot (6,63 \cdot 10^{-6}) \cdot 64 \cdot (8,39 \cdot 10^{-4}) \approx 0,218\,\mu\text{V}
\end{equation}

Durch den Resonanzgewinn des Parallelschwingkreises steigt die Spannung an den unbelasteten Klemmen auf:
\begin{equation}
U_{\text{Res}} = U_0 \cdot Q \approx 0,218\,\mu\text{V} \cdot 121,7 \approx \mathbf{26,5\,\mu\text{V}}
\end{equation}

\newpage
\section{Bauanleitung für die Luftspule}

\begin{enumerate}
    \item \textbf{Vorbereitung des Wickelkörpers:} Schneiden Sie ein ca. 8--10\,\text{cm} langes Stück von einem PVC-Rohr mit 32\,\text{mm} Außendurchmesser ab. Bohren Sie an den beiden Enden der geplanten Wickelzone (Abstand exakt $43,5\,\text{mm}$) jeweils zwei kleine Löcher ($\varnothing$ 1,0--1,5\,\text{mm}) nebeneinander in die Rohrwandung. Diese dienen als mechanische Zugentlastung.
    \item \textbf{Wickelvorgang:} Fädeln Sie den Anfang des $0,63\,\text{mm}$ Kupferlackdrahts durch das erste Lochpaar, sodass ca. $10\,\text{cm}$ als Anschlussleitung überstehen. Wickeln Sie nun unter gleichmäßigem, strammem Zug exakt \textbf{64 Windungen} dicht an dicht (einlagig) auf das Rohr.
    \item \textbf{Fixierung:} Sichern Sie das Drahtende nach der 64. Windung im zweiten Lochpaar.
    \item \textbf{Kontaktierung:} Entfernen Sie den Isolierlack an den Drahtenden mechanisch (z.\,B. mit feinem Schleifpapier) auf einer Länge von ca. $1\,\text{cm}$, bis das blanke Kupfer sichtbar ist, und verzinnen Sie die Enden.
\end{enumerate}

\section{Aktiver Antennenverstärker (+5V Single Supply)}

Um die geringe Signalspannung ohne Belastung des Schwingkreises zu puffern, wird ein JFET-Operationsverstärker vom Typ \textbf{TL072} eingesetzt. Die Schaltung arbeitet mit einer einzigen Versorgungsspannung von +5\,V. Die erste Hälfte (Amp A) dient als Verstärker ($v \approx 11$), während die zweite Hälfte (Amp B) eine stabile virtuelle Masse auf $V_{\text{CC}}/2 = 2,5\,\text{V}$ erzeugt.

\subsection{Schaltplan (Circuitikz)}

\begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=0.85, transform shape]
    % --- STUFE 1: VIRTUELLE MASSE (Links) ---
    % Spannungsteiler an +5V
    \draw (0,4) node[above] {$+5\text{V}$}
          to[R, l=$R_5\,(10\text{k})$] (0,2)
          to[C, l=$C_3\,(10\mu\text{F})$] (0,0) node[ground] {};
          
    % OPV B für virtuelle Masse (oben +, unten - durch yscale=-1)
    \draw (2,2) node[op amp, yscale=-1] (ampB) {};
    \node[above right] at (ampB.+) {5};
    \node[below right] at (ampB.-) {6};
    \node[above right] at (ampB.out) {7};
    \node[right=0.2cm] at (ampB) {Amp B};
    
    % Verbindungen zu Amp B
    \draw (0,2) -- (ampB.+);
    \draw (ampB.out) -- ++(0.5,0) coordinate (vref) |- (ampB.-);
    \draw (vref) to[short, *-] ++(0.5,0) node[right] {$V_{\text{ref}}$};

    % --- STUFE 2: SCHWINGKREIS & BEZUG (Mitte) ---
    % Wir definieren feste x-Positionen rechts von Stufe 1
    \coordinate (X1) at (5,0);
    \coordinate (X2) at (6.5,0);
    \coordinate (X3) at (8,0);
    
    % Schwingkreis gegen echte Masse (GND)
    \draw (X1) node[ground] {} to[L, l=$L\,(100\mu\text{H})$] ++(0,3.5) coordinate (top);
    \draw (X2) node[ground] {} to[C, l=$C\,(42\text{nF})$] ++(0,3.5) -- (top);
    
    % R1 geht von der Schwingkreisschiene runter auf das Vref-Potential
    \draw (X3) node[below] {$V_{\text{ref}}$} to[R, l_=$R_1\,(1\text{M})$, -*] ++(0,3.5) coordinate (signal) -- (top);

    % --- STUFE 3: HAUPTVERSTÄRKER (Rechts) ---
    % OPV A Platzierung (Standard: oben -, unten +)
    \draw (10,3) node[op amp] (ampA) {};
    \node[below right] at (ampA.+) {3};
    \node[above right] at (ampA.-) {2};
    \node[above right] at (ampA.out) {1};
    \node[right=0.2cm] at (ampA) {Amp A};
    
    % Signal an den nicht-invertierenden Eingang (+)
    \draw (signal) |- (ampA.+);
    
    % Gegenkopplungsausgang
    \draw (ampA.out) -- ++(0.5,0) coordinate (out) node[right] {Ausgang};
    
    % Rückführung über R3 und R2 + C2 an die virtuelle Masse
    \draw (ampA.-) -- ++(0,1.2) coordinate (fb)
          to[R, l=$R_3\,(100\text{k})$] (fb -| out) -- (out);
          
    \draw (fb) to[R, l_=$R_2\,(10\text{k})$] ++(-2,0)
          to[C, l_=$C_2\,(10\mu\text{F})$] ++(-2,0) 
          |- (vref); % Schließt sauber an den Ausgang von Amp B an
\end{circuitikz}
\end{center}

\subsection{Komponentenliste}
\begin{itemize}
    \item \textbf{IC1:} TL072 (Dual-JFET-OpAmp) oder MCP602 (Rail-to-Rail für bessere 5V-Performance)
    \item \textbf{R1:} $1\,\text{M}\Omega$, \textbf{R2, R4, R5:} $10\,\text{k}\Omega$, \textbf{R3:} $100\,\text{k}\Omega$ (Metallfilm 1\%)
    \item \textbf{C:} $\approx 42,2\,\text{nF}$ (Schwingkreiskondensator, z.\,B. Styroflex oder FKP)
    \item \textbf{C2, C3:} $10\,\mu\text{F}$ Elektrolytkondensator oder Tantal
    \item \textbf{C4:} $100\,\text{nF}$ Keramik direkt an Pin 8 ($V_{\text{CC}}$) und Pin 4 ($\text{GND}$) zur Abblockung.
\end{itemize}

\end{document}